|  | 

Кружок "Математический калейдоскоп"

Информ-досье «История математических действий»

Здравствуйте, друзья!

В начале развития общества, когда человеку не требовались большие числа, люди для счета обходились пальцами одной руки, потом двух, потом пальцами рук и ног. Позже все чаще возникала необходимость пересчитывать такое количество предметов, на которое пальцев не хватало. Постепенно были придуманы новые приема счета. В Африке некоторые племена до сих пор считают на камешках и орехах. Доходя до 5, складывают их отдельно в маленькую кучку. Жители островов Тихого океана ведут счет на кокосовых черепашках, откладывая маленький черешок каждый раз, как они доходят до 10, и большой, – когда доходят до 100. Прошли многие тысячи лет. Развились обмен и торговля, которые потребовали от людей новых навыков в счете, в действиях с числами. Так постепенно возникли арифметические действия

Сложение 
Люди научились считать еще в каменном веке. Числа служили для счета предметов, дней, шагов и так далее. На местах стоянок первобытных людей ученые находили кости с зарубками — так наши далекие предки фиксировали количество предметов. Но количество предметов то увеличивалось, то уменьшалось, поэтому важно было уметь складывать и вычитать. Помогал в этом нашим далеким предкам их первобытный компьютер – десять пальцев на руках. Загибал человек пальцы – складывал, разгибал – вычитал. Точно так же, как делает это каждый маленький ребенок, когда учится считать. Сотни лет люди древнего мира выполняли сложение подобным же образом, присчитывая к первому данному множеству предметов по одному предмету, взятому из второго множества, до тех пор, пока все предметы (члены) второго множества не будут исчерпаны.

Длительное время сложение чисел люди выполняли только устно с помощью каких-либо предметов – пальцев, камешков, ракушек, бобов и прочее, а позже на специальных приборах – счетной скамье, абаке, счетах.

Но с развитием цивилизации людям потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.

Знания и навыки по приемам счета и вычислениям накапливались одновременно во многих странах Древнего мира: Вавилоне, Китае, Индии, Египте.

Только после того как была изобретена позиционная система счисления и числа стали записывать цифрами, подобно тому как это делаем мы, индийские мудрецы нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычислениях они записывали числами палочек на песке, насыпанном на специально приготовленную доску. Цифры, изображенные на песке, легко было стирать, а на их месте записывать другие. Вероятно, этим можно объяснить некоторые особенности индийского приема сложения чисел.

В Древней Индии было принято записывать слагаемые в столбик – одно под другим; сумму же записывали слагаемыми, сложение начинали с наивысшего разряда, т. е. слева направо. Если записанная в сумме цифра при сложении последующего низшего разряда изменялась, то ранее записанную цифру стирали, а на ее место вписывали новую.

Индийский прием сложения позаимствовали математики Среднего и Ближнего Востока, а от них в начале 9 века он перекочевал в Европу.

В начале 15 века действие сложения стали обозначать начальной буквой слова плюс (в латинском алфавите – Р), которое означало «сложить». К концу того же века отдельные математики стали обозначать сложение знаком +, который вскоре получил всеобщее признание. Это быстрое признание нового знака произошло, видимо, потому, что его начертание напоминает сложение двух палочек.

Вычитание 
В Древней Индии вычитание чисел выполняли способом отсчитывания от уменьшаемого по одному, пока не получится вычитаемое. Например, вычитая от девяти пять, считали: «Девять без одного – восемь, девять без двух – семь, девять без трех – шесть, девять без четырех – пять, девять без пяти – четыре. Все единицы вычитаемого (пять) исчерпаны, следовательно, 9 — 5 = 4».

Арабы не стирали цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой. Это было очень неудобно. Тогда арабские математики, используя тот же прием вычитания, стали начинать действие с низших разрядов, т. е. раз работали новый способ вычитания, сходный с современным. Для обозначения вычитания в III в. до н. э. в Греции использовали перевернутую греческую букву пси (Ф). Итальянские математики пользовались для обозначения вычитания буквой М, начальной в слове минус. В 16 веке для обозначения вычитания стали применять знак — . Вероятно, этот знак перешел в математику из торговли. Торговцы, отливая для продажи вино из бочек, черточкой мелом обозначали число мер проданного из бочки вина.

Умножение 

Умножение – это особый случай сложения нескольких одинаковых чисел. В далекие времена люди учились умножать уже при счете предметов. Так, считая по порядку числа 17, 18, 19, 20, они должны были представлять 20 не только как 10+10, но и как два десятка, то есть 2 • 10; 30 – как три десятка, то есть три раза повторить слагаемым десяток – 3 — 10 – и так далее.

Умножать люди начали значительно позже, чем складывать. Египтяне выполняли умножение посредством повторного сложения или последовательного удвоения. В Вавилоне при умножении чисел пользовались специальными таблицами умножения – «предками» современных. В Древней Индии применяли способ умножения чисел, тоже довольно близкий к современному. Индийцы производили умножение чисел, начиная с высших разрядов. При этом они стирали те цифры, которые при последующих действиях надо было заменять, так как к ним прибавляли число, ныне запоминаемое нами при умножении. Таким образом, математики Индии сразу записывали произведение, выполняя промежуточные вычисления на песке или в уме. Индийский прием умножения перешел к арабам. Но арабы не стирали цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой. В Европе продолжительное время произведение называли сумма умножения. Название «множитель» упоминается в работах 6 веке, а «множимое» – в 13 веке.

Существует множество приемов, позволяющих с помощью пальцев производить различные арифметические операции. Вот прием, позволяющий запомнить таблицу умножения на 9.

Если положить обе руки рядом, ладонями на стол и мысленно пронумеровать все пальцы обеих рук слева направо, то приподняв вверх палец, соответствующий числу, на которое требуется умножить 9 можно быстро узнать ответ. Число пальцев, расположенных слева от поднятого дает число десятков, а расположенных справа – единиц искомого результата.

В 17 веке некоторые из математиков стали обозначать умножение косым крестиком – х, а иные употребляли для этого точку. В 16-17 веках для обозначения действий применяли различные символы – единообразия в их употреблении не было. Только в конце 18 веке большинство математиков стали употреблять в качестве знака умножения точку, но допускали и употребление косого креста. Знаки умножения (•, х) и знак равенства (=) стали общепризнанными благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716).

Деление 
Два любых натуральных числа всегда можно сложить, а также умножить. Вычитание из натурального числа можно выполнить лишь тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого. Деление же без остатка выполнимо только для некоторых чисел, причем узнать, делится ли одно число на другое, трудно. Помимо того, есть числа, которые вообще нельзя разделить ни на какое число, кроме единицы. Делить на нуль нельзя. Эти особенности действия значительно усложнили путь к уяснению приемов деления.

В Древнем Египте деление чисел выполняли способом удвоения и медиации, то есть делением на два с последующим сложением отобранных чисел. Математики Индии изобрели способ «деление вверх». Они записывали делитель под делимым, а все промежуточные вычисления – вверху над делимым. При чем те цифры, которые при промежуточных вычислениях подвергались изменению, индийцы стирали и на их место писали новые. Позаимствовав этот способ, арабы в промежуточных вычислениях стали цифры перечеркивать и надписывать над ними другие. Такое нововведение значительно усложнило «деление вверх». Способ деления, близкий к современному, впервые появился в Италии в 15 веке.

На протяжении тысячелетий действие деления не обозначали каким-либо знаком – его просто называли и записывали словом. Индийские математики первыми стали обозначать деление начальной буквой из названия этого действия. Арабы ввели для обо значения деления черту. Черту для обозначения деления от арабов перенял в 13 веке итальянский математик Фибоначчи. Он же впервые употребил термин частное. Знак двоеточия (:) для обозначения деления вошел в употребление в конце 17 веке.

Знак равенства (=) впервые введен английским учителем математики Р. Рикоррдом в 16 веке. Он пояснял: «Никакие два предмета не могут в большей степени быть равны между собой, как две параллельные линии». Но еще в египетских папирусах встречается знак, который обозначал равенство двух чисел, хотя этот знак совершенно не похож на знак = .

Математика развивает логическое мышление, умение самостоятельно решать проблемы, способность быстро уловить суть и найти к жизненной задаче наиболее подходящий и простой подход.

Математика тесно связана с нашей повседневной жизнью. Математика встречается в нашей жизни практически на каждом шагу.

Четыре действия математики применяется практически во всех областях человеческой деятельности.

Как учили математику дети сто и двести лет назад? Над какими задачками они сидели вечерами?
Узнать об этом Вы можете из книги «Как наши предки учили математику. Старинные задачки с решениями».

В этой книге собраны самые интересные задачи, которые задавали учителя нашим прапрадедушкам и прапрабабушкам.
Попробуйте решить их! И чтобы проверить ответ и получить объяснения, загляните в конец книги.

В завершении нашей встречи предлагаем Вам поучаствовать в веселой математической викторине.


inform-dose-istorija-matematicheskih-dejstvij

ОБ АВТОРЕ